Ich vermute mal, dass die Berufsbezeichnung auf dem Arbeitsvertrag zwingend mit der letztendlichen Bezahlung zusammenhängt. Wenn die dich in der Krippe offiziell im Arbeitsvertrag als Heilpädagogin einstellen würden, müssten sie dir rechtlich gesehen auch das entsprechende Gehalt zahlen. Stellen sie dich mit deinem Einverständnis (also, in dem du dein dir vorliegenden Vertrag so wie er jetzt ist unsterschreibst) unter der Betitelung Erzieherin ein, müssen sie dir auch "nur" das Gehalt einer Erzieherin entlohnen.
Wer nimmt denn den Termin mit der Verwaltung wahr? Du und/oder die Leitung? Sofern du also von der Leitung (oder der Person, die dich einstellen möchte) begleitet wirst, könntet ihr zusammen bestimmt gute Argumente für deine eigentliche Berufsbezeichnung und auch entsprechende Anstellung und Entlohnung vorbringen. Sollst du das ganz alleine bewerkstelligen, vermute ich, stehen deine Chancen 50/50. Je nach dem wie gut du allein gegen die Verwaltung argumentieren kannst. Macht das die Leitung allein, kommt es darauf an, dass sie dich und deine Interessen und letztlich die gemeinsamen Qualitätsansprüche gut vertritt.
Das alles vermute ich mal aufgrund meiner eigenen beruflichen Erfahrungen und Gespräche mit Bekannten im heilpädagogischen Berufsbereich, ist also maximal gefährliches Halbwissen.

Aber ich hoffe, ich kann dir damit einige Anregungen geben zum Weiterdenken und Nachfragen.
Viele Grüße, Katja